Thesis:

Motor de Otto en el modelo Clock de q-estados

La presente investigación explora el desempeño de una máquina térmica y magnética considerando un modelo efectivo de spin interactuante denominado modelo Clock de q-estados (extensión del modelo de Ising), con redefinición de un hamiltoniano expresado con interacción de 'exchange' J y acople a campo magnético externo B (teoría ϕ4, escalar) en unidades de energía. Se expone la termodinámica para los 'relojes' q = 2, 4, 6, 8 de una red cuadrada L = 3, 16, 32, 64, 128, 256 bajo la teoría de campo medio, cual aproxima mediante la redefinición del spin efectivo en torno a un parámetro de orden m (relacionado a la magnetización M) y depreciando fluctuaciones de segundo orden en torno a este. Se plantea revisitar el ciclo clásico de Otto con reservorios definidos tal que los procesos en equilibrio térmico sucedan entre fases de orden y/o desorden identificadas en los diagramas de fase. Se revisan los desempeños del motor magnético en términos de trabajo neto aportado al ambiente y la eficiencia del mismo. Se comparan resultados obtenidos calculando la energía de todos los microestados (qL×L) respecto al resultado de la teoría de campo medio para una red 3 × 3 con bordes no interactuantes. Se propone una expresión para restringir la cantidad de vecinos cercanos efectivos z_eff en términos del tamaño de la red, a través de la minimización de la diferencia de energía interna exacta respecto al campo medio. Se constata la transición de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) para q > 5 en nuestros relojes q = 6, 8. Con reservorios de temperatura baja y alta (Tl = 0,6 y Th = 6,0) y campo magnético externo (Bl = 1,0 y Bh = {1,1, ..., 4,0; 0,1}) en unidades de energía, notamos un mejor desempeño para el modelo q = 4. La eficiencia del ciclo es proporcional a la libertad del spin, es decir, con el tamaño de q. Al comparar el trabajo y la eficiencia obtenidos de forma exacta versus campo medio, notamos que la aproximación es menor. El trabajo neto por spin y la eficiencia, al ser comparados entre distintos tamaños de red, muestran como límite superior la menor cantidad del estudio L = 3.

This research explores the performance of a thermal and magnetic engine, based on an effective interacting-spin model known as the $q$-state Clock model (an extension of the Ising model). The Hamiltonian is redefined to include an exchange interaction $J$ and coupling to an external magnetic field $B$ (within a scalar $\phi^4$ field theory framework), expressed in energy units. The thermodynamics for $q = 2, 4, 6, 8$ "clock" states on a square lattice of size $L = 3, 16, 32, 64, 128, 256$ are analyzed using mean-field theory; this approach involves redefining the effective spin in terms of an order parameter $m$ (related to the magnetization $M$) while neglecting second-order fluctuations. We revisit the classical Otto cycle, defining thermal reservoirs such that the processes in thermal equilibrium occur between ordered and/or disordered phases identified in the phase diagrams. The performance of the magnetic engine is evaluated in terms of the net work delivered to the surroundings and its efficiency. For a $3 \times 3$ lattice with non-interacting boundaries, the results obtained via mean-field theory are compared with those derived from an exact calculation of the energy of all possible microstates ($q^{L \times L}$). Furthermore, an expression is proposed to constrain the number of effective nearest neighbors, $z_{\text{eff}}$, as a function of the lattice size, by minimizing the difference between the exact internal energy and the mean-field approximation. The Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) transition is observed for $q > 5$ in our $q=6$ and $q=8$ clock models. With low- and high-temperature reservoirs ($T_l = 0.6$ and $T_h = 6.0$) and an external magnetic field ($B_l = 1.0$ and $B_h \in {1.1, \dots, 4.0}$ in increments of $0.1$, in energy units), we find that the $q=4$ model performs best. The cycle efficiency is proportional to the spin's degrees of freedom—that is, to the value of $q$. Comparing the work and efficiency values ​​obtained via exact methods versus the mean-field approximation, we find that the latter yields lower results. When comparing net work per spin and efficiency across different lattice sizes, the smallest system size studied, $L=3$, emerges as the upper limit.