Thesis:

Stability and dual valuation of contingent claims under rockafellian perturbations

This thesis focuses on the study of the stability of solutions to the valuation and hedging problem of contingent claims in a discrete-time, finite-horizon setting under short-selling constraints. The primary objective is to develop a robust theoretical framework, based on Rockafellian perturbations, that allows stability to be analyzed through the concept of epi-convergence. To this end, uncertainty is modeled by random variables with finite discrete support, using a scenario tree that is subsequently perturbed to capture critical or unforeseen events. The methodology is grounded in tools from variational analysis, specifically the concepts of epi-convergence for the study of the primal optimization problem and hypo-convergence for the analysis of the corresponding dual problem. Through the construction of Rockafellian functions, three fundamental perturbation scenarios are examined: changes in the underlying probability distribution, modifications to the cash-flow constraints of the contingent claim, and the simultaneous perturbation of both factors. The results show that the dual functions and optimal values preserve stability properties under suitable convergence conditions. Furthermore, the dual analysis provides an economic interpretation of the Lagrange multipliers, identifying them as shadow prices of perfect information and of the cash flows at each node of the market. In addition, an example with unstable solutions is constructed, illustrating a situation in which epi-convergence fails despite the proximity of the underlying probability distributions.

.Esta tesis se centra en el estudio de la estabilidad de las soluciones para el problema de valoración y cobertura de derechos contingentes en un entorno de tiempo discreto y horizonte finito, bajo condiciones de prohibición de ventas en corto. El objetivo primordial consiste en desarrollar un marco teórico robusto, basado en perturbaciones Rockafellianas, que permita evaluar la estabilidad mediante la epi-convergencia. Para ello, se modela la incertidumbre mediante variables aleatorias con soporte discreto finito, utilizando un árbol de escenarios que será perturbado para la captura de eventos críticos o imprevistos. La metodología empleada se fundamenta en herramientas del análisis variacional, específicamente en los conceptos de epi-convergencia para el estudio del problema de optimización primal y de hipo-convergencia para el análisis del problema dual. A través de la construcción de funciones Rockafellianas, se analizan tres escenarios de perturbación fundamentales: cambios en la distribución de probabilidad, alteraciones en las restricciones de los flujos de dinero del derecho contingente y la perturbación conjunta de ambos factores. Los resultados obtenidos demuestran que las funciones duales y los valores óptimos mantienen propiedades de estabilidad bajo condiciones de convergencia, mientras que el análisis dual proporciona una interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange, identificándolos como precios sombra de la información perfecta y de los flujos de caja en cada nodo del mercado. Además, se construye un ejemplo con soluciones inestables en el que la epi-convergencia falla a pesar de la proximidad entre las distribuciones de probabilidad.