Thesis:

Desigualdad de Carleman discreta y estabilidad de un problema inverso de corrosión discreto

En este trabajo se considera el problema inverso de corrosión discretizado mediante diferencias finitas. A diferencia del caso continuo, el operador laplaciano discreto no satisface en general una propiedad de continuación única, lo que impide esperar resultados de unicidad y estabilidad clásicos para un parámetro de malla fijo. En este contexto, se obtiene un resultado de estabilidad logarítmica en el marco discreto, válido de manera asintótica respecto del parámetro de malla $h$. Para ello, se demuestra una desigualdad de Carleman discreta en dos dimensiones, a partir de la cual se deduce un principio de continuación única cuantificado para funciones discretas, que permite establecer el resultado de estabilidad. Hasta donde sabemos, este constituye el primer resultado de estabilidad para el problema de corrosión discreto, así como de continuación única cuantificada en el marco discreto, que no impone condiciones de borde.

In this work, we consider the inverse corrosion problem discretized by finite differences. Unlike the continuous case, the discrete Laplacian operator does not generally satisfy a unique continuation property, which prevents one from expecting classical uniqueness and stability results for a fixed mesh parameter. In this context, we obtain a logarithmic stability result in the discrete setting, valid asymptotically with respect to the mesh parameter $h$. To this end, we establish a discrete Carleman inequality in two dimensions, from which a quantified unique continuation principle for discrete functions is derived, allowing us to prove the stability result. To the best of our knowledge, this constitutes the first stability result for the discrete corrosion problem, as well as the first quantified unique continuation result in the discrete framework that does not impose boundary conditions.