Thesis:

Identification and control methods utilizing rank and cardinality optimization approach

This Thesis addresses a class of optimization problems that can be found in several areas, such as system identification and control. Particularly, these problems are formulated by using rank and cardinality constraints in order to obtain low rank matrices or induce sparsity of the solution. Rank-constrained optimization problems are found in control and system identification. Low-order controller design problems are well known examples where the formulation utilizes Linear Matrix Inequalities (LMIs) and rank constraints over matrices for bounding the controller’s order and closed loop stability degree. Promotion of sparsity in identification and control problems can bring many practical advantages in the final solution. In model selection, by formulating the identification problem with a cardinality ( 0-norm) constraint over the parameter vector, a simplified or specific structure of the model can be obtained. In control applications sparsity can be induced on the solution of an optimal control problem, thus limiting the number of active actuators at each time step. Although low-rank and sparsity are desirable characteristics in the solution of many problems of interest, solving these type of problems poses computational difficulties. Manyapproaches that rely on approximations and specific tailored solutions are available in the literature in order to overcome the inherent complexity of the problem. However, iv in this work a novel rank-constraint representation is used which, aims to solve (not an approximation but) a problem that is equivalent to the original in the sense that they both have the same global optimum. The resulting problem can also be solved using standard nonlinear programming tools. The work hereby presented is divided in three main parts. First, an overview of state-of-the art techniques for solving cardinality and rank-constrained problems is shown. The second part of the thesis presents optimization problems with cardinality constraints in the field of model selection, parameter estimation and optimal control. The third part of the thesis addresses a rank-constrained optimization problem when designing a low-order controller with prescribed degree of stability. The formulation of this problem includes LMI and rank constraints.

Esta tesis aborda una clase de problemas de optimización que se pueden encontrar en diversas áreas, como la identificación y el control de sistemas. En particular, estos problemas se formulan utilizando restricciones de rango y cardinalidad para obtener matrices de bajo rango o inducir escasez de la solución. Los problemas de optimización con restricciones de rango se encuentran en el control y la identificación de sistemas. Los problemas de diseño de controladores de bajo orden son ejemplos bien conocidos donde la formulación utiliza desigualdades matriciales lineales (LMI) y restricciones de rango sobre matrices para acotar el orden del controlador y el grado de estabilidad de lazo cerrado. Promover la escasez en problemas de identificación y control puede aportar numerosas ventajas prácticas en la solución final. En la selección de modelos, al formular el problema de identificación con una restricción de cardinalidad (norma 0) sobre el vector de parámetros, se puede obtener una estructura simplificada o específica del modelo. En aplicaciones de control, se puede inducir escasez en la solución de un problema de control óptimo, limitando así el número de actuadores activos en cada paso de tiempo. Si bien el bajo rango y la escasez son características deseables en la solución de muchos problemas de interés, resolver este tipo de problemas plantea dificultades computacionales. Existen en la literatura numerosos enfoques basados ​​en aproximaciones y soluciones específicas a medida para superar la complejidad inherente del problema. Sin embargo, en este trabajo se utiliza una novedosa representación de restricción de rango que busca resolver (no una aproximación, sino) un problema equivalente al original, en el sentido de que ambos comparten el mismo óptimo global. El problema resultante también puede resolverse utilizando herramientas estándar de programación no lineal. El trabajo que se presenta se divide en tres partes principales. En primer lugar, se presenta una visión general de las técnicas más avanzadas para resolver problemas de cardinalidad y con restricciones de rango. La segunda parte de la tesis presenta problemas de optimización con restricciones de cardinalidad en el campo de la selección de modelos, la estimación de parámetros y el control óptimo. La tercera parte de la tesis aborda un problema de optimización con restricciones de rango al diseñar un controlador de orden bajo con un grado de estabilidad prescrito. La formulación de este problema incluye LMI y restricciones de rango.