Thesis:

Control robusto de alto ancho de banda para plantas de tiempo continuo

Para el diseño de sistemas de control es usual utilizar modelos simplificados de la planta que representen sus características esenciales. Con el objetivo de entender el efecto que tiene la presencia de polos y ceros con incertidumbre en el modelo de la planta, en esta tesis se propone un modelo nominal de alta frecuencia. Este modelo nominal permitirá desacoplar el diseño del controlador del análisis de estabilidad robusta de la planta verdadera. En esta tesis se obtiene una ley de control estabilizante para plantas con incertidumbre en la posición de sus polos, determinada por el ancho de banda del lazo cerrado nominal. Se considera el caso en que se utiliza el modelo de tiempo continuo y el caso en que se utiliza el modelo de tiempo discreto equivalente. En ambos casos se obtienen cotas ínfimas para el ancho de banda nominal que aseguran la estabilidad del lazo cerrado verdadero. En el presente trabajo se propone abordar el control de plantas continuas con incertidumbre utilizando un modelo nominal basado en su respuesta a alta frecuencia. Para el diseño del controlador se propone utilizar asignación de polos, lo que permite parametrizarlo en términos del ancho de banda del lazo cerrado nominal. Además, se utilizan técnicas de control robusto para asegurar la estabilidad del polinomio de lazo cerrado verdadero, que corresponde a una familia de polinomios con incertidumbre. Se trabaja bajo la hipótesis de que, al utilizar el modelo nominal y el controlador propuesto, se conseguirá la estabilidad del lazo cerrado al fijar el ancho de banda nominal lo suficientemente rápido. En la tesis se obtienen cotas ínfimas para la relación entre el ancho de banda nominal y la cota de los polos con incertidumbre. También se obtienen cotas ínfimas para una variante del controlador en la que se incorporan polos en el origen con el fin de solucionar los problemas que aparecen al considerar ceros inciertos en el modelo de la planta verdadera. Asimismo, se analiza el efecto de los polos con incertidumbre en sistemas de tiempo discreto; para ello, primero se plantea el modelo de la planta discreta para sistemas de bajo orden sin polos y se utiliza el modelo nominal de alta frecuencia, el cual tiene el beneficio de que su modelo discreto exacto se obtiene de forma directa por medio de los polinomios de Euler-Frobenius. En este modelo nominal discreto aparecen explícitamente los ceros asintóticos de muestreo, los cuales se consideran en el diseño del controlador, y para ilustrar su importancia al operar en alta frecuencia se considera un segundo modelo nominal que no cuenta con estos ceros de muestreo asintóticos. Con el modelo discreto verdadero y los dos modelos nominales discretos, se plantea utilizar un controlador bipropio, cuyo diseño se realiza en función del ancho de banda nominal, bajo la misma hipótesis del caso de tiempo continuo, en la que se asegura la estabilidad del lazo cerrado verdadero si el ancho de banda nominal es lo suficientemente rápido. Finalmente, se pone a prueba la ley de control propuesta en esta tesis en dos sistemas físicos: un servomotor y un levitador magnético. El primero corresponde a una planta de segundo orden donde se busca controlar la posición angular a través de un voltaje de actuación, mientras que el segundo corresponde a un levitador magnético en el que se controla la posición de un rotor a partir de una corriente de actuación. En el caso del levitador se evidencian algunas limitantes del controlador, las cuales se analizan y se proponen soluciones particulares para mejorar el control. Para ambos sistemas se obtienen datos experimentales que evidencian la estabilidad del lazo cerrado al fijar el ancho de banda lo suficientemente rápido, utilizando tanto el controlador continuo como el discreto, y comparando los resultados.

FOR control system design, simplified models of the plant that represent its essential characteristics are usually considered. To understand the effect of poles and zeros in the plant model, a high‑frequency nominal model is proposed which does not have such uncertainties; this nominal model will allow decoupling the controller design from the robust stability analysis of the true closed‑loop. In this thesis a stabilizing control law is obtained for plants with uncertainty in the position of their poles, which is determined by the bandwidth of the nominal closed‑loop. Both continuous‑time and discrete‑time equivalent models are considered, and in both cases, lower bounds for the nominal bandwidth are obtained to ensure the stability of the true closed‑loop. This work proposes addressing the control of continuous plants with uncertainty using a nominal model based on its high‑frequency response; pole assignment is proposed for controller design, allowing parameterization in terms of the nominal closed‑loop bandwidth. Additionally, robust control techniques will be used to ensure the stability of the true closed‑loop polynomial, which corresponds to a family of polynomials with uncertainty, and the hypothesis is that by using the nominal model and the proposed controller, closed‑loop stability will be achieved by sufficiently fast nominal bandwidth setting. This thesis provides lower bounds for the relationship between the nominal bandwidth and the bound of uncertain poles, and lower bounds are also obtained for a variant of the controller that incorporates origin poles to solve the problems that arise when considering uncertain zeros in the true plant model. The effect of poles with uncertainty in discrete‑time systems is also analyzed: first, the discrete plant model is formulated for low‑order systems without poles, and the high‑frequency nominal model is used, which benefits from its exact discrete model obtained directly through Euler‑Frobenius polynomials; in this discrete nominal model, the asymptotic sampling zeros appear explicitly and are considered in the controller design. To illustrate their importance when operating at high frequency, a second nominal model is considered, which does not include the asymptotic sampling zeros; with the true discrete model and the two nominal discrete models, a biproper controller is proposed, and the controller design is based on the nominal bandwidth, and under the same hypothesis as in the continuous‑time case, the stability of the true closed‑loop is ensured if the nominal bandwidth is sufficiently fast. Finally, the proposed control law in this thesis is tested on two physical systems: a servomotor and a magnetic levitator; the first corresponds to a second‑order plant where the aim is to control the angular position through an actuation voltage, and the second system to be controlled is a magnetic levitator, where the position of the iron sphere is controlled based on an actuation current. In the case of the levitator, some limitations of the controller are evident, which are analyzed and specific solutions are sought to improve control, and experimental data is obtained for both systems, demonstrating closed‑loop stability by setting the bandwidth sufficiently fast; both continuous and discrete controllers are used in these experiments, and the results are compared.