Thesis:

Cuencas de atracción y separatrices en modelos de competencia con efecto Allee

En esta memoria se estudian modelos de competencia entre dos especies en presencia de efecto Allee. El objetivo principal es proponer formulaciones generales que permitan describir, en un mismo marco, la dinámica de sistemas de competencia cuando ambas especies están sujetas a efecto Allee y cuando solo una de ellas lo presenta. Para ello, se analizan primero dos modelos particulares de la literatura con efecto Allee en ambas especies, mostrando que, bajo ciertas condiciones, son topológicamente equivalentes y por tanto exhiben la misma dinámica cualitativa. A partir de esta comparación, se formula un modelo general bidimensional para el caso en que ambas especies presentan efecto Allee. Bajo hipótesis estructurales sobre las funciones que definen el sistema, se determina la cantidad de equilibrios interiores que pueden aparecer, se estudia su estabilidad y se describe la estructura de las cuencas de atracción asociadas a coexistencia, exclusión competitiva o extinción simultánea. Además, se obtienen condiciones para la ocurrencia de bifurcaciones transcríticas, fold y cúspide, lo que permite describir cómo cambia la dinámica al variar los umbrales de efecto Allee, las capacidades de carga o los parámetros de competencia. También se considera un caso complementario sin hipótesis de concavidad de las nulclinas, con el fin de ilustrar el alcance de los resultados obtenidos. Posteriormente, se propone una segunda formulación general para el caso en que solo una de las especies está sujeta a efecto Allee. En este contexto se obtienen resultados análogos sobre existencia y número de equilibrios interiores, estabilidad, cuencas de atracción y bifurcaciones, mostrando además que la dinámica resultante es más simple que en el caso anterior. Finalmente, se presentan cinco ejemplos concretos, cuatro de ellos provenientes de la literatura y uno propuesto en esta memoria, mostrando cómo pueden escribirse dentro de las formulaciones generales desarrolladas. De esta manera, los resultados obtenidos permiten unificar distintos modelos de competencia con efecto Allee dentro de un mismo marco teórico y entregar una descripción cualitativa de su dinámica en función de los parámetros y de las condiciones iniciales.

This thesis studies two-species competition models in the presence of the Allee effect. The main objective is to propose general formulations that describe, within a common framework, the dynamics of competition systems when both species are subject to the Allee effect and when only one of them is affected by it. To this end, we first analyze two particular models from the literature in which both species experience an Allee effect, showing that, under suitable conditions, they are topologically equivalent and therefore exhibit the same qualitative dynamics. Motivated by this comparison, we formulate a general two-dimensional model for the case in which both species are subject to the Allee effect. Under structural assumptions on the functions defining the system, we determine the number of interior equilibria that may arise, study their stability, and describe the structure of the basins of attraction associated with coexistence, competitive exclusion, or simultaneous extinction. In addition, we obtain conditions for the occurrence of transcritical, fold, and cusp bifurcations, which allow us to describe how the dynamics changes as the Allee thresholds, carrying capacities, or competition parameters vary. We also consider a complementary case in which the concavity assumption on the nullclines is removed, in order to illustrate the scope of the results obtained. We then propose a second general formulation for the case in which only one of the species is subject to the Allee effect. In this setting, analogous results are obtained concerning the existence and number of interior equilibria, stability, basins of attraction, and bifurcations, showing in particular that the resulting dynamics is simpler than in the case where both species are affected by the Allee effect. Finally, we present five concrete examples, four taken from the literature and one proposed in this thesis, showing how they can be written within the general formulations developed here. In this way, the results provide a unified framework for different competition models with Allee effect and a qualitative description of their dynamics in terms of parameters and initial conditions.