Thesis:

Estimación de desplazamientos usando modelos reducidos a partir de imágenes in vivo de elastografía.

El presente trabajo propone un enfoque basado en el método PBDW (Parameterized- Background Data Weak), utilizando elementos finitos, para reconstruir el campo de desplazamiento en el dominio completo a partir de datos parciales obtenidos mediante elastografía utilizando resonancia magnética. El método combina información de una base de simulaciones numéricas de tejido cerebral poro-elástico sometido a un régimen armónico permanente, dentro de un rango fisiológicamente plausible de parámetros, en conjunto con los datos obtenidos de mediciones. Estas simulaciones se utilizan para construir una base reducida mediante el método POD (Proper Orthogonal Decomposition), sobre la cual se resuelve un problema de optimización que busca el mejor ajuste frente a mediciones de desplazamiento disponibles en planos. Con el método se pueden estimar campos de desplazamiento utilizando solamente desplazamientos definidos en una cantidad limitada de planos. Se construye una manifold numérica de 2048 simulaciones tridimensionales variando módulo de Young, razón de Poisson, permeabilidad y frecuencia de excitación; el análisis de valores singulares muestra que la mayor parte de la información se concentra en los primeros 50 modos, y que un modelo reducido con esta cantidad de modos resulta suficiente para describir la dinámica relevante. Con este esquema, los campos sintéticos se reconstruyen con errores relativos en norma 2 del orden de 0,0001 %, validando la consistencia interna del enfoque. En mediciones in vivo, el método alcanza errores relativos en norma 2 del orden de 15–20 % al comparar en la misma slice utilizada para la reconstrucción, y del orden de 27 % al interpolar entre slices. Adicionalmente, la incorporación de modos guiados por datos mediante OMP (Orthogonal Modes Pursuit) permite reducir aún más el error para un mismo número de modos combinados versus la POD tradicional, mostrando que el enfoque híbrido ROM (Reduced Order Model)–PBDW constituye una alternativa promisoria para la reconstrucción de campos mecánicos en elastografía cerebral.

This work proposes an approach based on the PBDW (Parameterized-Background Data Weak) method, using the finite element method, to reconstruct the displacement field in the full domain from partial data obtained by elastography using magnetic resonance or ultrasound. The method combines information from a database of numerical simulations of a poroelastic tissue subjected to a steady-state harmonic regime, within a physiologically plausible range of parameters, with measurement data. These simulations are used to construct a reduced basis via the POD (Proper Orthogonal Decomposition) method, on which an optimization problem is solved to find the best fit to the available displacement measurements on selected planes. With this method, displacement and pressure fields can be estimated using only displacement data defined on a limited number of slices. A numerical manifold of 2048 three-dimensional simulations is built by varying Young’s modulus, Poisson’s ratio, permeability, and excitation frequency; the singular value analysis shows that most of the information is concentrated in the first 50 modes, and that a reduced model with this number of modes is sufficient to describe the relevant dynamics. With this scheme, synthetic fields are reconstructed with relative errors in the 2-norm on the order of 0.0001%, validating the internal consistency of the approach. For in vivo measurements, the method achieves relative errors in the 2-norm on the order of 15–20% when comparing on the same slice used for the reconstruction, and about 27% when interpolating between slices. Additionally, the incorporation of data-driven modes via OMP (Orthogonal Modes Pursuit) further reduces the error for a given total number of combined modes compared with traditional POD, showing that the hybrid ROM (Reduced Order Model)–PBDW approach is a promising alternative for the reconstruction of mechanical fields in brain elastography.