Thesis:

Utilización de Redes Neuronales Convolucionales para Resolver la Ecuación de Poisson

Las redes neuronales profundas han demostrado ser una herramienta poderosa para resolver problemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs), permitiendo aproximar soluciones a diferentes escenarios donde los métodos tradicionales presentan grandes desafíos. Sin embargo su principal limitación es el alto costo computacional asociado a su entrenamiento y uso, junto a su baja capacidad de generalización. Con el fin solventar este inconveniente, en este trabajo se propone un nuevo enfoque para resolver la ecuación de Poisson mediante el uso de redes neuronales convolucionales (CNNs) con el fin de generar un método más eficiente que el utilizado por las redes neuronales informadas por física (PINNs). El modelo propuesto consiste en entrenar una red CNN para un dominio con condiciones de frontera específicos el cual pueda ser utilizado para resolver diferentes casos de la ecuación de Poisson dentro del dominio establecido. Los resultados obtenidos muestran que el modelo propuesto es capaz de aproximar la solución de la ecuación de Poisson para diferentes escenarios de dominios bidimensionales y tridimensionales, junto con condiciones de frontera variadas e incluso con dominios que incluyen interfaces con un buen grado de generalización, alcanzando errores promedios menores al 5 % en la mayoría de los casos. Sin embargo, el modelo presenta limitaciones en cuanto a la generalización de dominios con geometrías complejas, en donde se observó que no es capaz de generalizar adecuadamente casos tridimensionales con interfaces si no se cuenta con datos de entrenamiento previamente resueltos, además de presentar una clara deficiencia en aproximar cargas puntuales, llegando a errores puntuales de sobre el 90 % en algunos casos. Esto deja abierto un camino para futuras investigaciones, donde se invita a explorar el uso de redes neuronales convolucionales para resolver diferentes problemas de EDPs, así como la posibilidad de mejorar el modelo propuesto.

Deep neural networks have proven to be a powerful tool for solving partial differential equations (PDEs), allowing for the approximation of solutions to different scenarios where traditional methods face significant challenges. However, their main limitation is the high computational cost associated with their training and usage, along with their poor generalization capabilities. To solve this inconvenience, this work proposes a new approach to solve the Poisson equation using convolutional neural networks (CNNs) to create a more efficient method than that used by physics-informed neural networks (PINNs). The proposed model consists of training a CNN for a domain with specific boundary conditions that can be used to solve different cases of the Poisson equation within the established domain. The results obtained show that the proposed model is capable of approximating the solution of the Poisson equation for different scenarios of two-dimensional and three-dimensional domains, along with varied boundary conditions and even domains that include interfaces, achieving average errors below 5 % in most cases. However, the model has limitations regarding the generalization of domains with complex geometries, where it was observed that it is not able to adequately generalize three-dimensional cases with interfaces unless previously solved training data is available. Additionally, it shows a clear deficiency in approximating point loads, resulting in point errors exceeding 90 % in some cases. This opens a path for future research, inviting exploration of the use of convolutional neural networks to solve different PDE problems, as well as the possibility of improving the proposed model.