Thesis:

Nuevas transiciones entre diagramas de bifurcación bajo el lente de teoría de catástrofes y singularidades

En esta tesis investigamos la aparición y transición entre dos estructuras de bifurcación complejas, las bifurcaciones tipo Mushroom e Isola, en el contexto de sistemas dinámicos unidimensionales, discretos y suaves. Utilizando herramientas de la Teoría de Bifurcaciones, la Teoría de Singularidades y los Sistemas Dinámicos, construimos y analizamos una familia polinomial de grado mínimo de la forma 𝑥↦𝑥+𝑥³−𝑥²+𝜆²+α, la cual actúa como un despliegue universal capaz de exhibir tanto bifurcaciones tipo Mushroom como tipo Isola. Demostramos que, bajo perturbaciones suaves, cualquier sistema dinámico contacto equivalente a esta familia reproduce el mismo comportamiento cualitativo cerca de las regiones críticas del espacio de parámetros. Además, extendemos este análisis mediante la introducción de un despliegue de tres parámetros que organiza la transición entre tipos de bifurcaciones y proporciona una clasificación completa de la dinámica local.

In this thesis, we investigate the appearance and transition between two complex bifurcation structures, Mushroom and Isola bifurcations, in the context of one-dimensional, discrete, and smooth dynamical systems. Using tools from Bifurcation Theory, Singularity Theory, and Dynamical Systems, we construct and analyze a polynomial family of minimum degree of the form 𝑥↦𝑥+𝑥³−𝑥²+𝜆²+α, which acts as a universal display capable of exhibiting both Mushroom and Isola bifurcations. We demonstrate that, under smooth perturbations, any contact dynamical system equivalent to this family reproduces the same qualitative behavior near the critical regions of the parameter space. Furthermore, we extend this analysis by introducing a three-parameter unfolding that organizes the transition between types of bifurcations and provides a complete classification of the local dynamics.