Thesis:

PDE-constrained optimization for nonlinear fluid mechanics and fractional diffusion

This work addresses three optimal control problems with constraints given by partial differential equations (PDEs) and a coupled system of nonlocal PDEs. For each control problem, we perform an exhaustive study that includes: existence of optimal solutions, analysis of first order necessary and second order necessary and sufficient optimality conditions, as well as the study of regularity properties of the optimal solutions. After this, we perform a finite element discretization analysis. We consider two discretization schemes: a fully discrete scheme, where the control variable is approximated by piecewise constant functions, and a semidiscrete scheme, where the control variable is not discretized. For both discretization schemes, we analyze the convergence of discrete solutions to continuous solutions. Finally, we derive a priori error estimates. For the coupled system of nonlocal PDEs, we investigate existence, uniqueness, and regularity properties of solutions. Finally, we study the finite element discretization and the approximation of the discrete scheme using the Schwarz method are analyzed, providing associated a priori error estimates and demonstrating the convergence of this method.

Este trabajo aborda tres problemas de control óptimo con restricciones dadas por ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y un sistema acoplado de EDP no locales. Para cada problema de control, realizamos un estudio exhaustivo que incluye: la existencia de soluciones óptimas, el análisis de las condiciones de optimalidad necesarias de primer orden y de segundo orden necesarias y suficientes, así como el estudio de las propiedades de regularidad de las soluciones óptimas. Posteriormente, realizamos un análisis de discretización por elementos finitos. Consideramos dos esquemas de discretización: un esquema completamente discreto, donde la variable de control se aproxima mediante funciones constantes por partes, y un esquema semidiscreto, donde la variable de control no se discretiza. Para ambos esquemas de discretización, analizamos la convergencia de soluciones discretas a soluciones continuas. Finalmente, derivamos estimaciones de error a priori. Para el sistema acoplado de EDP no locales, investigamos las propiedades de existencia, unicidad y regularidad de las soluciones. Finalmente, estudiamos la discretización por elementos finitos y analizamos la aproximación del esquema discreto mediante el método de Schwarz, proporcionando estimaciones de error a priori asociadas y demostrando la convergencia de este método.