Thesis:

Análisis de error a posteriori para Problemas Temporales mediante Esquemas Estabilizados de Elementos Finitos

Se desarrolla un análisis a posteriori para la ecuación de difusión–convección–reacción no estacionaria mediante esquemas estabilizados de elementos finitos, dicho análisis se realiza en dos de las normas más usuales en términos de problemas espacio–temporales, L2(0,T; H0^1(Ω)) y la norma usual del espacio W(0,T), donde la principal diferencia entre ambas es que para el segundo caso la norma espacial corresponde a una norma aumentada que considera la norma dual de la derivada temporal, de esta manera se obtiene en ambos casos cotas superiores e inferiores garantizadas a través de un estimador de error a posteriori completamente computable el cual se descompone en cuatro componentes, una referente al error inicial eta0, una al error espacial etah^n, una al error temporal etat^n y una al error de oscilación etaD^n, para lo cual se tiene que en ambos casos la cota superior es global en espacio y tiempo, es decir de manera general se tiene que ||e||^2_{Ω×(0,T)} ≤ eta0^2 + sumatoria desde n igual 1 hasta N de ((etah^n)^2 + (etat^n)^2 + (etaD^n)^2), mientras que la cota inferior es global en espacio y local en tiempo, es decir (etah^n)^2 + (etat^n)^2 ≤ C1 ||e||^2_{Ω×(tn−1,tn)} + C2 (etaD^n)^2, la discretización del problema se hace a través del método de las líneas, haciendo uso de un esquema de Galerkin estabilizado para la discretización de la variable espacial, considerando los esquemas de estabilización SUPG, GLS, ES y CIP, mientras que para la discretización de la variable temporal se hace uso del esquema de Backward–Euler, en función del análisis a posteriori realizado se implementa un algoritmo computacional espacio–temporal adaptativo y se presentan resultados numéricos que ilustran la teoría desarrollada y el funcionamiento de los estimadores de error.

An a posteriori analysis is developed for the nonstationary diffusion–convection–reaction equation using stabilized finite element schemes, this analysis is carried out in two of the most commonly used norms in space–time problems, L2(0,T; H0^1(Ω)) and the usual norm of the space W(0,T), where the main difference between them is that in the second case the spatial norm corresponds to an augmented norm that considers the dual norm of the temporal derivative, in this way guaranteed upper and lower bounds are obtained in both cases through a fully computable a posteriori error estimator which is decomposed into four components, one related to the initial error eta0, one to the spatial error etah^n, one to the temporal error etat^n and one to the oscillation error etaD^n, for which in both cases the upper bound is global in space and time, that is in general it holds that ||e||^2_{Ω×(0,T)} ≤ eta0^2 plus the summation from n equal to 1 to N of ((etah^n)^2 plus (etat^n)^2 plus (etaD^n)^2), where as the lower bound is global in space and local in time, that is (etah^n)^2 plus (etat^n)^2 ≤ C1 ||e||^2_{Ω×(tn−1,tn)} plus C2 (etaD^n)^2, the discretization of the problem is performed through the method of lines, using a stabilized Galerkin scheme for the discretization of the spatial variable, considering the stabilization schemes SUPG, GLS, ES and CIP, while for the discretization of the temporal variable the Backward–Euler scheme is used, based on the a posteriori analysis carried out a space–time adaptive computational algorithm is implemented and numerical results are presented that illustrate the developed theory and the performance of the error estimators.