Thesis:

Aplicación de la teoría de la homogeneización para materiales compuestos mediante el método sin malla de puntos finitos

En el presente trabajo se estudia numéricamente el comportamiento elástico lineal de materiales compuestos mediante la teoría de la homogeneización en dos escalas, la cual se implementa numéricamente a través del método sin malla de puntos finitos. Los materiales compuestos son materiales formados por dos o más materiales que no reaccionan químicamente entre sí, con el fin de conseguir conjuntos de propiedades excepcionales que normalmente no se encuentran en materiales comunes. Este trabajo se enfoca en materiales compuestos jerárquicos con microestructura periódica, donde el cambio entre las fases de los materiales constituyentes ocurre a una escala muy inferior a la escala normal o macroscópica del compuesto, como es el caso de materiales reforzados con fibra o partículas. Bajo este concepto, la teoría de la homogeneización en dos escalas divide el problema en un problema macroestructural, donde el material compuesto puede ser tratado como un material homogéneo, y un problema microestructural representado por un volumen elemental, del cual se extraen las propiedades efectivas u homogeneizadas del compuesto. Cada nodo de la discretización del problema macroestructural corresponderá a un problema microestructural distinto, el cual está sujeto a una nueva clase de condiciones conocidas como condiciones de periodicidad. La aproximación numérica es realizada a través del método sin malla de puntos finitos. Los métodos sin malla se presentan como una alternativa viable para la resolución de problemas en que los prestigiosos métodos con malla, como el método de elementos finitos, encuentran sus limitaciones inherentes al uso de la malla. Por esta razón, resulta importante estudiar el comportamiento, adaptabilidad y eficacia de estos métodos en nuevos tipos de problemas, como el presente. En lo particular, el método de puntos finitos nunca se ha utilizado para el estudio de materiales compuestos; sin embargo, sus particulares características suponen ciertas ventajas clave por sobre el general de los métodos sin malla, como la ausencia total de integración numérica en la aproximación y el esquema de colocación puntual, que permite reproducir con exactitud las condiciones de borde, lo cual resulta de vital importancia en la teoría de la homogeneización. Los resultados son validados a través de resultados numéricos, analíticos y experimentales presentes en la literatura relacionada, y por comparación con problemas que pueden ser resueltos (no sin dificultad) por el método de elementos finitos.

In this thesis work, the linear elastic behaviour of composites is simulated numerically by means of two-scale homogenization theory, which is numerically implemented using a meshless finite point method. Composite materials are composed of two or more materials that do not chemically react with each other to obtain a material with an exceptional set of properties not found in common materials. This work is focused on hierarchical composites with periodic microstructure, where the phase change between constituent materials happens on a much smaller scale than the normal or macroscopic scale of the composite, as is the case of fiber- and particulate-reinforced composites. Seen under this perspective, the two-scale homogenization theory decomposes the problem into a macroscopic problem, in which the composite is treated as a homogeneous material, and a microstructural problem, which is represented by an elemental volume from which the effective properties of the composite can be extracted. Each node of the discretization in the macrostructural problem is related to a microstructural problem subjected to a different kind of boundary condition known as a “periodicity condition.” The numerical approximation is done through the meshless finite point method. Meshfree methods represent an interesting alternative to solve problems in which the methods of prestige, such as the finite element method, are limited because they rely on a mesh. For this reason, it is important to study the behavior, adaptability and effectiveness of meshfree methods in new types of problems such as the present. In particular, the finite point method has never been used in the study of composites before, and yet its particular characteristics imply some key advantages over other meshfree methods, such as the absence of quadrature for the approximation function and a point collocation scheme that reproduces accurately the boundary conditions, which is an essential part in homogenization theory. Results are validated through numerical, analytical and experimental results found in the literature, and by comparing problems that can be solved (not effortlessly) with the finite point method as a reference point.