Thesis:

Dinámica de un modelo de depredación del tipo Leslie Euler con doble efecto Allen en las presas

En este trabajo se analiza un modelo depredador-presa del tipo Leslie-Gower considerando que las presas están afectadas por dos tipos de efecto Allee, el cual está descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que dependen de parámetros ecológicos. Se establecerán las propiedades dinámicas del sistema. Se probará la existencia de tres puntos de equilibrio sobre los ejes: un equilibrio silla, un equilibrio repulsor o silla dependiendo de los parámetros, y se probará que el origen es un equilibrio no hiperbólico pero posee ciertos sectores en donde el equilibrio es atractor, repulsor o silla. Veremos que pueden existir de cero a dos puntos de equilibrios al interior del primer cuadrante, los cuales tienen las siguientes estabilidades: en el caso de tener dos equilibrios, uno de ellos será silla y la estabilidad del segundo dependerá de los valores de los parámetros; y en el caso de tener un equilibrio este podrá ser atractor o repulsor dependiendo de los parámetros. También veremos que existen curvas separatrices y conexiones homoclínicas. Se probará la existencia de una bifurcación Silla-nodo y una bifurcación de Hopf, y mediante un análisis de bifurcación utilizando paquetes de integración y continuación numérica, se probará la existencia de una bifurcación Bogdanov-Takens, la cual actúa como organizadora de la dinámica al interior del primer cuadrante. Para obtener estos resultados, entregamos las nociones y los resultados necesarios de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y bifurcación de campos de vectores. También se darán algunas nociones sobre dinámica de poblaciones, las cuales nos permitirán analizar nuestro modelo.

This paper analyzes a Leslie-Gower predator-prey model, considering that prey are affected by two types of Allee effect, which is described by a system of ordinary differential equations that depend on ecological parameters. The dynamic properties of the system will be established. The existence of three equilibrium points on the axes will be proven: a saddle equilibrium, a repulsive equilibrium, and a saddle equilibrium, depending on the parameters. It will also be shown that the origin is a non-hyperbolic equilibrium but has certain sectors where the equilibrium is attractive, repulsive, or saddle. We will see that there can be zero to two equilibrium points within the first quadrant, which have the following stabilities: in the case of two equilibria, one will be a saddle equilibrium, and the stability of the second will depend on the parameter values; and in the case of one equilibrium, it can be attractive or repulsive depending on the parameters. We will also see that separating curves and homoclinic connections exist. The existence of a Silla-node bifurcation and a Hopf bifurcation will be proven. Through bifurcation analysis using numerical integration and continuation packages, the existence of a Bogdanov-Takens bifurcation, which acts as the organizer of the dynamics within the first quadrant, will also be proven. To obtain these results, we provide the necessary concepts and results from the qualitative theory of differential equations and vector field bifurcations. We will also introduce some concepts of population dynamics, which will allow us to analyze our model.