Thesis:

Numerical methods for dtochastic gunctional fifferential rquations driven by a gractional brownian motion

En esta tesis se estudia la aproximación numérica de una clase de ecuaciones diferenciales funcionales estocásticas dirigidas por un movimiento Browniano fraccionario con parámetro de Hurst H>1/2 , en las cuales el efecto de memoria es descrito mediante un término integral con núcleo. Debido a la naturaleza del ruido fraccionario, las integrales estocásticas involucradas son interpretadas en el sentido de la integral de Riemann–Stieltjes generalizada, definida mediante herramientas de cálculo fraccionario. En primer lugar, se presentan los resultados preliminares necesarios para el desarrollo del trabajo, incluyendo algunas propiedades fundamentales del movimiento Browniano fraccionario, elementos de cálculo fraccionario y la teoría básica de las ecuaciones diferenciales funcionales estocásticas consideradas. Asimismo, se realiza una revisión del estado del arte sobre métodos numéricos para ecuaciones diferenciales estocásticas y ecuaciones diferenciales funcionales estocásticas dirigidas tanto por movimiento Browniano estándar como por movimiento Browniano fraccionario, con especial énfasis en los esquemas de Euler, backward Euler, θ-Maruyama y Milstein. La primera contribución original de esta tesis consiste en la construcción y análisis de un esquema de Euler explícito para la aproximación de la solución de las ecuaciones estudiadas. Bajo hipótesis adecuadas sobre los coeficientes y el término de memoria, se demuestra la consistencia del método y se establece su convergencia hacia la solución exacta. Estos resultados constituyen la base de un artículo de investigación actualmente sometido para publicación. La segunda contribución corresponde al desarrollo y análisis de un esquema implícito de backward Euler para la misma clase de ecuaciones. Se demuestra que (...).

This thesis deals with the numerical approximation of a class of stochastic functional differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter H>1/2, where the memory effect is described through an integral kernel. Owing to the fractional nature of the driving noise, the stochastic integrals involved are interpreted pathwise by means of the generalized Riemann–Stieltjes integral, which is defined using tools from fractional calculus. First, the mathematical background required throughout the thesis is presented, including some fundamental properties of fractional Brownian motion, elements of fractional calculus, and the basic theory of the stochastic functional differential equations under consideration. A review of the existing literature on numerical methods for stochastic differential equations and stochastic functional differential equations driven by both standard and fractional Brownian motion is also provided, with particular emphasis on Euler, backward Euler, θ-Maruyama, and Milstein-type schemes. The first original contribution of this thesis consists of the construction and analysis of an explicit Euler scheme for approximating the solution of the equations under study. Under suitable assumptions on the coefficients and the memory term, the consistency and convergence of the method are established. These results constitute the basis of a research article currently submitted for publication. The second contribution concerns the development and analysis of an implicit backward Euler scheme for the same class of equations. It is shown that (...).