Thesis:

Rango de matrices de covarianzas no asintóticas y la matriz de Hankel, para estimar el orden de un sistema

Modelling physical phenomena is a common problem in engineering, which is normally accomplished by fitting measured data to a previously selected model structure, through parameter estimation. Examples of these modeling and fitting techniques are the well-known methods of least squares and instrumental variables, which depend on the proper choice of the model structure, to obtain consistent models; recently, several approaches for structure estimation have been developed, mostly based on covariance matrices, which search exhaustively for the system structure among the possible models. When considering a noisy environment, some noise reduction techniques are applied in advance, for example: Instrumental variables, re-scaling the input by an input-output power ratio and data fitting techniques. In order to optimize the previously mentioned methods, this thesis improves the framework for structural identification, based on covariance matrices, by establishing sufficient conditions for the input signal, so that the rank of covariance matrices can be exactly known, allowing the development of non-exhaustive methods for structural identification. Besides, a criterion for estimating the system structure is developed, when considering a noisy environment, even if the probability distribution of the output noise is unknown. Finally, relations between covariance matrices, the system Hankel matrix and the Yule-Walker matrix are obtained, where the last two inherit the rank properties of the covariance matrices.

EL modelado de fenómenos físicos es un problema recurrente en el campo de la ingeniería, el que se aborda principalmente mediante el ajuste de un conjunto de mediciones a una estructura de modelos seleccionada con anterioridad, estimándose de esta manera sus coeficientes o parámetros. Ejemplos de estas estrategias de modelado y ajuste son los métodos clásicos de cuadrados mínimos y variables instrumentales, los que precisan del conocimiento previo de una estructura adecuada, para obtener modelos consistentes; recientemente, se han desarrollado diferentes enfoques que abordan el tema de identificación estructural en su mayoría basados en matrices de covarianzas, que buscan exhaustivamente la estructura correcta del sistema entre un conjunto de modelos candidatos. Si se considera un entorno ruidoso se aplican de antemano algunas técnicas de reducción de ruido: variables instrumentales, reescalamiento de la entrada y la salida según la potencia del ruido, y técnicas de ajustes de datos. Con el objeto de optimizar los métodos anteriores, en esta tesis se mejora el marco de trabajo para identificación estructural basada en matrices de covarianza, especificándose claramente condiciones suficientes para la señal de entrada, de manera que el rango de las diferentes matrices de covarianza sea conocido en forma exacta, permitiendo así desarrollar métodos no exhaustivos de identificación estructural. Además, en el caso de existir ruido de medición, se desarrolla un criterio que permite estimar la estructura del sistema, sin necesidad de conocer la distribución probabilística del ruido, mediante el uso de variables instrumentales; finalmente se establecen relaciones entre estas matrices de covarianzas y las matrices de Hankel del sistema y de Yule-Walker, donde estas últimas heredan las propiedades de rango de las matrices de covarianza.